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¿Te acuerdas de cómo se hacía una raíz cuadrada?

Muchas personas, al conocer que soy matemático, me dicen: “¿Te quieres creer que no recuerdo cómo se hacía la raíz cuadrada?”. Debe de ser que les caló muy hondo, porque me ha pasado muchas, muchas veces. La verdad es que no me sorprende que no se acuerden. El proceso que te lleva con lápiz y papel a calcular la raíz cuadrada de un número es de los menos transparentes que hay, de los que menos se entiende cómo funcionan.

En este artículo vamos a tratar de entenderlo, sí, pero vamos a hacer cosas más importantes: primero, entender qué es una raíz cuadrada; segundo, ver para qué sirve; y, tercero, entender por qué funciona el procedimiento. Y os adelanto una cosa: actualmente, el currículo educativo no incluye enseñar a los alumnos cómo se hacen las raíces cuadradas, aunque muchos profesores continúan haciéndolo.

Te propongo esta sencilla actividad. Puedes utilizar la calculadora del móvil, en serio. Voy a plantearla como un diálogo contigo:

Yo: Una persona me ha dicho que hay un número que multiplicado por sí mismo da 16.

Tú: Claro, el 4.

Yo: Exacto, y el menos cuatro también. Pero bien, vamos a fijarnos en los números positivos. Pues que sepas que otra persona me ha dicho que hay un número que multiplicado por sí mismo da 9.

Tú: Muy sencillo, el 3. Y el -3, claro.

Yo: Correcto. Pues esta misma persona me ha comentado que hay un número que multiplicado por sí mismo da 10.

Tú (después de pensarlo un poco): Será un número entre el 3 y el 4, un número decimal.

Dejo el diálogo para no cansarte, pero este es un buen momento para utilizar la calculadora del móvil, la sencilla, la que sale con el cacharro en vertical. Vamos a utilizar un método simple para encontrar ese número. Como me has dicho, en el diálogo hipotético, que tiene que estar entre 3 y 4. Vamos a probar con los números intermedios, a ver si hay suerte.

– 3,5 x 3,5 da 12,25. El número que buscamos estará entre 3 y 3,5.

– Elegimos el número a mitad de camino entre 3 y 3,5: 3,25. Da 10,5625. Se pasa, así que el número que buscamos estará entre 3 y 3,25.

-3,125 x 3,125 = 9,765625 eso quiere decir que el número que multiplicado por sí mismo da 10 está entre 3,125 y 3,25.

– Volvemos a intentarlo con el punto medio, el 3,1875, y, esta vez, nos pasamos (10,16015625).

Podemos sacar ya algo en claro: que el número que buscamos empieza, seguro, por 3,1… Podríamos seguir esta búsqueda, o bien, pasarnos a la calculadora científica -normalmente girando el móvil- para descubrir que la raíz cuadrada de 10 es (aproximadamente) 3,162. No íbamos desencaminados. Podríamos haber sacado tantos decimales como la calculadora, haciendo muchos pasos, pero jamás habríamos dado con el número exacto. Tampoco ella lo hace, porque la raíz de diez es irracional y los números que hemos ido probando eran todos fracciones, racionales. Pero esa es otra historia.

Antes de continuar, podemos sacar dos conclusiones. ¿Qué es la raíz cuadrada de una cantidad? Es el número que multiplicado por sí mismo da la cantidad por la que me preguntaban. La segunda: ¿cómo se calcula? La respuesta a esta puede ser, perfectamente, con la calculadora.

Y añado una pregunta nueva: ¿para qué sirve lo que hemos hecho? Primero, para responder satisfactoriamente a las dos preguntas del párrafo anterior. Pero también sirve para poder aproximar de cabeza raices cuadradas. Esto es necesario porque entrena la mente y porque las raíces cuadradas se utilizan para resolver distintos problemas.

¿Y para qué podrían servir, en el mundo real, las raíces cuadradas? Por ejemplo, para organizar objetos. Imagina que, en un arranque a lo Marie Kondo, quieres colocar tus calcetines perfectamente doblados en el fondo de un cajón cuadrado. En el mundo real, el de las cosas que se tocan y se cambian de sitio, la principal funcionalidad de la raíz cuadrada es organizar cosas en cuadrados. Pongamos que para tu sala de trofeos de pesca, un suponer, quieres comprar una estantería cuadrada (tipo IKEA) y poner uno de estos trofeos en cada hueco. Si tienes 25, te valdrá en una estantería de lado 5, y si tienes 26, pues ya no porque la raíz cuadrada de 26 es 5, pero te sobra uno.

Pero la raíz cuadrada sirve para más cosas, porque se trata, como ya hemos visto, del proceso inverso de elevar al cuadrado: al igual que la resta lo es de la suma, o la división de la multiplicación. Y tiene todo el sentido estudiarlo también desde esa perspectiva.

Esto se enseña en las escuelas y está en los currículos oficiales. Lo que no está es lo que se ve en la siguiente imagen, un momento de la programación especial que estos días de confinamiento se emite en el canal Clan (puedes ver el vídeo completo aquí).

El procedimiento para obtener una raíz cuadrada con lápiz y papel es lo que no recuerda la gente. El cómo. Que no lo recuerden no debería tener terribles implicaciones porque, como decíamos, hace tiempo que salió de los currículos oficiales. Pero, sorpresa: se sigue enseñando. ¿Por qué? Difícil saberlo. Posiblemente porque siempre se ha hecho, por una tradición mal entendida que nos lleva a los profesores a seguir explicando las cosas que recordamos que hemos contado en otras ocasiones. La otra posible explicación es que sigue apareciendo en los libros de texto. Y si está en el libro, muchos profesores sienten que hay que enseñarlo.

Hasta aquí debería ser suficiente. Al igual que los currículos académicos ya no exigen saber hacer la operación de la raíz cuadrada, tampoco deberíamos martirizarnos con no recordar cómo nos lo enseñaron a nosotros. Y, además, ahora todos llevamos una calculadora encima.

Con papel y lápiz (aquí nos ponemos técnicos)

Pero la pregunta verdaderamente interesante, y que no puede preguntarse a niños de 11 o 12 años porque no están en condiciones de responderla, es: ¿por qué funciona ese procedimiento? Responder a esta pregunta podría llevar a que se explicase el algoritmo, que es lo que intentaremos a continuación, aunque habría que hacerlo a una edad a la que el alumno tuviera suficiente capacidad de abstracción y madurez. Ese es el auténtico desafío, que vamos a tratar de lograr en lo que queda de artículo. Te advierto, eso sí, que me voy a poner un poco técnico. Si quieres intentar revivir aquella clase de matemáticas que te marcó, adelante.

Voy a realizar la raíz cuadrada al número 1234 (es solo un ejemplo).

1. Agrupo las cifras del número en bloques de dos, empezando por la derecha, porque lo vamos a hacer en dos pasos: uno para las decenas del resultado y otro para las unidades. Sabemos que nuestra solución va a tener dos cifras porque 10×10=100. Es decir, los números con dos cifras tienen raíces menores a 10. Tampoco puede tener 3, porque el menor número de tres cifras es 100 y 100×100=10000, un número de 5 cifras.

2. Busco el número de decenas que multiplicadas por sí mismas quedan más cerca de 1200 y me olvido de momento del 34. Resto “9” porque 30×30=900. O sea, podría haber puesto 900, y podría decir que me quedan por “cuadrar” 334.

3. Ahora viene el paso más oscuro: doblamos lo que tengamos en la caja de arriba, ponemos un 6 en una caja auxiliar y buscamos una cifra (llamémosla A) que, como cifra de las unidades (o sea, como 60 y A) y multiplicada por A quede lo más cercana posible al 334. ¿Por qué 60? Porque lo que estamos doblando no es un 3, es un 30.

4. Pero, ¿por qué doblamos? Pues porque en realidad buscamos (30+A)x(30+A) y eso es igual a 30×30+30xA+Ax30+AxA = 900+60A+AxA. El 30×30=900 ya lo hemos “cuadrado” en el paso 2, lo que tenemos que encontrar ahora es el 60xA + AxA. Lo que hago ahora es porque saco factor común A en la expresión anterior, 60xA+AxA = (60+A)xA, o sea “60 y A” por A, justo lo que hemos puesto.

5. El A que nos deja más cerca de 334 es 5, porque 65×5=325. Esto es teníamos que “cuadrar” 334, nos hemos quedado cerca porque sobran 9 unidades. Subo el 5. Podría parar aquí, y decir que el resto, lo que nos sobra, son 9 unidades, pero voy a dar un paso más y ajustar la raíz cuadrada a las décimas.

6. Escribo las 9 unidades que me sobraban como 900 centésimas. En dinero se entiende mejor, 9 euros son 900 céntimos. También podría haber dicho que eran 90 décimas, pero recuerda que trabajamos en grupos de 2 cifras. Sigo operando como en el paso 3. Doblo 35 y busco una cifra B que al lado del 70 (“70B”xB) me lleve lo más cerca posible de las 900 centésimas. Resulta ser 1, y es una décima, porque 0,1×0,1=0,001, te lo juro, compruébalo. Lo subo a la caja principal. Me sobran 199, pero no son 199 unidades, claro, son 199 centésimas, o sea, 1,99.

Por volver al ejemplo de los calcetines, ¿qué quiere decir que la raíz cuadrada de 1234 es 35,1? Me vas a permitir que me quede en el paso 5 y obvie las décimas. Es como si tuviéramos un cajón muy grande en el que quisiéramos guardar 1234 prendas de ropa interior.

Un cuadrado lado 35, 35×35, 1225, cuadraditos, en cada huequito, un par de calcetines, y guardo 9 en otro cajón. O los tiro, que es muy Marie Kondo, también.

La imagen anterior se puede “enriquecer” porque lo que hemos hecho no es ni más ni menos que encontrar el lado del mayor cuadrado que podemos organizar con 1234 objetos, y ha resultado ser 35 (y sobran 9). Y el cuadrado de 30+5 es el cuadrado de 30 más el cuadrado de 5 más dos veces 30×5:

Esta última imagen contiene la explicación a una de las fórmulas que más trabajo cuesta “que aprendan” en secundaria: el célebre “cuadrado del binomio” (el cuadrado de a+b es el cuadrado de a más el cuadrado de b más dos veces a por b) que tantos memes genera.

Toda la explicación anterior nos la podríamos ahorrar de una de estas maneras: haciendo la raíz cuadrada con calculadora (aceptable) o explicándolo a una edad en la que se puedan entender. Esto último implicaría enseñar procedimientos buscando la comprensión de las cosas que explicamos, y no solo porque siempre se haya hecho así o vengan en el libro.

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